Скопировал её из стандартной темы, прописал код, но не работает.

прописывать надо в функции art_comment, которая, по всей видимости, находится у вас в шаблоне в файле functions.php

Как это сделать?

ну это гуглится легко, например вот это руководство. в коде, конечно, надо менять значения на свои, но и так думаю будет все понятно.

К примеру сделать поле "Номер покупки" и рядом с именем автора коммента, выводился данный номер!)

вывести то такое поле проблем никаких - но судя по контексту, заполнять его должны работники магазина, так ведь?

ну руководств полно по этому поводу. но вам проще воспользоваться плагином Custom Comment Fields или похожими.

смотрите руководства, я подробнее описать не могу. комментарий может вводится в форме, которая прописана в comments.php, он может вводится в форме, которую запихнули в functions.php или форма комментариев вообще может быть заменена новой функцией wordpress (начиная с версии 3.0) comment_form - для каждого из этих вариантов код должен быть разным. потому я и говорю, что вам проще воспользоваться плагином.

ссылку на ваш шаблончик дайте, посмотрю.

чтобы пользователь заполнял их при регистрации

да решений много, вот, например, одно из них.

А почему добавленые поля не отображаются в проиле в новой версии 3.4.1 по адресу /wp-admin/profile.php?

ну вот, вы заставили меня проверять :( все там добавляется в 3.4.1, внимательней код вставляйте.

в какой именно файл functions етот код вставлять

строго в файл, который находится в папке шаблона.

как убрать AIM и Yahoo где это находится?

в тот же functions.php добавить код:

add_filter('user_contactmethods','hide_profile_fields',10,1);
 
function hide_profile_fields( $contactmethods ) {
unset($contactmethods['aim']);
unset($contactmethods['jabber']);
unset($contactmethods['yim']);
return $contactmethods;
}